2.2.18
Ukázková hodina – Střední škola – Matematika – Pravděpodobnost
Mgr. Pavel Miškovský
NahoruEvokace k tématu
Následující text přináší popis hodiny matematiky v 5. ročníku šestiletého gymnázia se žáky, kteří budou z matematiky maturovat. Jedná se o úvodní hodinu tematického celku Pravděpodobnost.
Počet žáků ve skupině je 19, přítomno ve výuce bylo 15. Délka výuky byla standardních 45 minut. V hodině jsem se pokusil uplatnit metody aktivního učení.
Cíl hodiny
- studenti se seznámí s historickými souvislostmi tématu,
- studenti intuitivně odvodí řadu pravděpodobnostních zákonitostí,
- studenti vyřeší několik jednoduchých pravděpodobnostních úloh na základě logických úvah,
- studenti se orientují v textu s matematickým obsahem.
Prověření úrovně dosažení cílů
správnost a úplnost odpovědí na otázky, správné posuzování souvislostí v dalších hodinách
NahoruMetody aktivního učení:
Čtení s otázkami
Náhoda člověka vždy fascinovala. Podle starověké řecké mytologie hráli na počátku světa tři bratři Zeus, Poseidon a Hádes v kostky o vesmír. Zeus vyhrál první cenu – nebesa, Poseidon druhou – moře a Hádes se musel usídlit v pekle.
Starořecká matematika se o náhodě nezmiňuje. Řekové zřejmě nevěřili, že lze v náhodných jevech najít nějaký řád a náhoda se podle nich chovala zcela nepředvídatelně.
První kroky k teorii náhody učinil v 16. století italský lékař, matematik, astrolog, filozof a náruživý hazardní hráč Geronimo Cardano (1501–1576). Ukázal, jak lze při házení kostkou přiřadit možným výsledkům číselné hodnoty. Svá pozorování shrnul v roce 1525 v knize "Liber de ludo aleae" (Kniha o náhodných hrách).
Cardano popisoval hru s "poctivou" kostkou s čísly 1 až 6, která mají stejnou šanci, že se objeví na vrchní straně kostky.
Úkoly pro žáky
- Jak byste vyjádřili šanci každého ze šesti čísel na kostce, že padne?
- Je tato šance u všech čísel na kostce stejná?
- Jak byste vyjádřili šanci, že padne libovolné buď jedno, nebo druhé číslo? Proč?
Šance každého ze šesti čísel je 1 ze 6, tedy 1/6.
V současné terminologii se tato číselná hodnota nazývá pravděpodobnost a říkáme, že vybrané číslo padne s pravděpodobností. Cardano také usoudil, že pravděpodobnost, že padne buď číslo 1, nebo číslo 2, musí být 2/6, tedy 1/3,
protože požadovaný výsledek nastane ve dvou případech z celkových šesti možností.
Cardano se také zabýval pravděpodobností určitých výsledků v případě opakovaných hodů nebo hodů dvěma kostkami.
Úkol pro žáky
- Jak byste vyjádřili pravděpodobnost, že ve dvou po sobě následujících hodech kostkou padne vždy stejné číslo (např. šestka)? Proč?
Cardano zjistil, že pravděpodobnost, že ve dvou po sobě následujících hodech kostkou padne vždy číslo 6, je 1/6*1/6, tedy 1/36.
Obě pravděpodobnosti násobíme, protože každý ze šesti možných výsledků získaný prvním hodem lze spárovat s každým ze šesti možných výsledků dosaženým druhým hodem, čímž dostaneme celkem 36 možností.
Cardano řešil i pravděpodobnost, s níž při hodu dvěma kostkami bude součet čísel rovný například číslu 5.
Úkol pro žáky
- Jak byste postupovali vy? Proč?
Ze 36 možností vybral Cardano všechny případy, kdy je součet roven 5 – to jsou 4 možnosti (1 – 4, 2 – 3, 3 – 2, 4 – 1). V současné terminologii je tedy pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 5, rovna 4/36, tedy 1/9.
Cardanova analýza poskytla alespoň částečný pohled na podstatu pravděpodobnosti a je škoda, že se zastavil těsně před branami moderní teorie pravděpodobnosti. Totéž se stalo i italskému matematikovi, fyzikovi a astronomovi Galileo Galileimu (1564–1642). Ten v 17. století nezávisle na Cardanovi dospěl ke stejným závěrům, když se snažil zjistit, jak by jeho patron – toskánský velkovévoda – mohl dosáhnout lepších výsledků u hracích stolů. Ani Cardana, ani Galileiho nenapadlo zkoumat, jak svých výzkumů využít k "předvídání" budoucnosti.
Klíčový krok uskutečnili až dva francouzští matematici – Blaise Pascal (1623–1662) a Pierre de Fermat (1601–1665). V roce 1654 si vyměnili několik dopisů, jejichž obsah je dnes považován za základ teorie pravděpodobnosti. Jejich analýza se sice zabývala konkrétní hazardní hrou, ale vytvořili obecnou teorii, kterou lze použít k předpovídání sledu událostí v rozmanitých situacích.
Problém, který Pascal a Fermat rozebírali ve svých dopisech, byl starý více než dvě století: "Jak si dva hráči rozdělí bank při náhlém přerušení hry?" Problém nedokončené hry zřejmě poprvé formuloval v 15. století mnich Luca Paciolo, který učil matematiku Leonarda da Vinci. K Pascalovi se dostal prostřednictvím Chevaliera de Méré, francouzského šlechtice se zálibou v hazardních hrách i v matematice. Pascal nedokázal problém vyřešit sám, a tak požádal o radu Fermata, v té době obecně uznávaného za nejlepšího matematika. Mezi 9. červencem a 27. říjnem 1654 si vyměnili několik dopisů.
Předpokládejme, že dva hráči hrají v kostky pět her. V okamžiku, kdy jeden hráč vede nad druhým 2:1, je hra náhle přerušena. Jak si rozdělí sázky?
Úkoly pro žáky
- Jak byste navrhli rozdělit sázku, kdyby byl stav vyrovnaný?
- V čem se situace změní, je–li stav hry 2:1? Proč není "spravedlivé" volit stejné řešení jako při rovnosti?
- Jaká možná pokračování by hra měla, kdyby nebyla přerušena?
- Mají možná pokračování vliv na rozhodnutí, jak sázku rozdělit?
- Jak byste sázku rozdělili?
Při vyrovnaném stavu by s dělením peněz nebyl žádný problém. Sázka by se rozdělila napůl. Ve zkoumaném případě ale není hra vyrovnaná a při spravedlivém rozdělení je třeba zohlednit, že jeden hráč vede 2:1. Oba matematici řešili, co by se s největší pravděpodobností stalo, kdyby hra přerušena nebyla. Jinými slovy – hleděli do budoucnosti.
Při hledání odpovědi na Pacioliho problém zkoumali Fermat a Pascal všechna možná pokračování hry a zjišťovali, který hráč v jednotlivých případech vyhrál. Předpokládejme, že hrají přímo Pascal s Fermatem a že po třetí hře vede Fermat 2:1. Jsou čtyři možnosti, jak se hra může vyvíjet:
- Pascal vyhraje 4. a 5. hru – celkově vyhraje Pascal 3:2,
- Pascal vyhraje 4. hru a Fermat 5. – celkově vyhraje…
